Cas des suites monotones

Théorème  

1. Toute suite croissante et non majorée tend vers \(+\infty\) .
2. Toute suite décroissante et non minorée tend vers \(-\infty\) .

Démonstration

1. Soit  \((u_n)\) une suite croissante et non majorée. Soit \(A \in \mathbb{R}\) .
\(A\)  n'est pas un majorant, donc il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que \(u_{n_0}\geqslant A\) .
Comme `(u_n)` est croissante, pour tout entier naturel \(n \geqslant n_0\) , on a \(u_n \geqslant u_{n_0}\) .
Ainsi, pour tout entier naturel   \(n \geqslant n_0\) , on a \(u_n \geqslant u_{n_0} \geqslant A\) .
L'intervalle \([A~;~+\infty[\) contient bien tous les `u_n` à partir d'un certain rang donc \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty\)

2. La démonstration s'effectue de façon analogue.